高中物理：万有引力定律

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正文：

高中物理：万有引力定律

简介

万有引力定律(Law of universal gravitation)是艾萨克·牛顿在1687年于《自然哲学的数学原理》上发表的。牛顿的普适万有引力定律表示如下：

任意两个质点通过连心线方向上的力相互吸引。该引力的大小与它们的质量乘积成正比，与它们距离的平方成反比，与两物体的化学本质或物理状态以及中介物质无关。

万有引力定律是解释物体之间的相互作用的引力的定律。是物体(质点)间由于它们的引力质量而引起的相互吸引力所遵循的规律。

是牛顿在前人(开普勒、胡克、雷恩、哈雷)研究的基础上，凭借他超凡的数学能力证明，在1687年于《自然哲学的数学原理》上发表的。

在高中阶段主要是用了简化的思想，把行星运动轨道由椭圆简化为圆下证明。

具体证明可以参考《普通高中课程标准实验教科书》物理高一第六章 万有引力定律 p97-107或《普通高中课程标准实验教科书》物理高一必修2教材p36-37。

万有引力定律的发现，是17世纪自然科学最伟大的成果之一。

定律内容：

自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小与两物体的质量的乘积成正比，与两物体间距离的平方成反比。

公式表示：

F=G*M1M2/(R*R) (G=6.67×10^-11N•m^2/kg^2)

F: 两个物体之间的引力

G: 万有引力常数

m1: 物体1的质量

m2: 物体2的质量

r: 两个物体之间的距离

依照国际单位制，F的单位为牛顿(N)，m1和m2的单位为千克(kg)，r 的单位为米(m)，常数G近似地等于

6.67×10-11次方N·m2㎏-2次方

(牛顿米的平方每千克的平方)。

可以看出排斥力F一直都将不存在，这意味着净加速度的力是绝对的。(这个符号规约是为了与库仑定律相容而订立的，在库仑定律中绝对的力表示两个电子之间的排斥力。)

适用范围:

两个可以视为质点的物体之间，或者是两个均匀球之间。

意义：

万有引力定律的发现，是17世纪自然科学最伟大的成果之一。它把地面上物体运动的规律和天体运动的规律统一了起来，对以后物理学和天文学的发展具有深远的影响。它第一次解释了(自然界中四种相互作用之一)一种基本相互作用的规律，在人类认识自然的历史上树立了一座里程碑。

万有引力定律揭示了天体运动的规律，在天文学上和宇宙航行计算方面有着广泛的应用。它为实际的天文观测提供了一套计算方法，可以只凭少数观测资料，就能算出长周期运行的天体运动轨道，科学史上哈雷彗星、海王星、冥王星的发现，都是应用万有引力定律取得重大成就的例子。利用万有引力公式，开普勒第三定律等还可以计算太阳、地球等无法直接测量的天体的质量。牛顿还解释了月亮和太阳的万有引力引起的潮汐现象。他依据万有引力定律和其他力学定律，对地球两极呈扁平形状的原因和地轴复杂的运动，也成功的做了说明。推翻了古人类认为的神之引力。

重力加速度：

令a1为事先已知质点的重力加速度。由牛顿第二定律知， 即。取代前面方程中的F

同理亦可得出a2.

依照国际单位制，重力加速度(同其他一般加速度)的单位被规定为米每平方秒 (m/s^2 or m s^−2)。非国际单位制的单位有伽利略、单位g(见后)以及 英尺每秒的平方。

请注意上述方程中的a1，质量m1的加速度，在实际上并不取决于m1的取值。因此可推论出对于任何物体，无论它们的质量为多少，它们都将按照同样的比率向地面坠落(忽略空气阻力)。

如果物体运动过程中r只有极微小的改变——譬如地面附近的自由落体运动——重力加速度将几乎保持不变(参看条目地心引力)。而对于一个庞大物体，由于r的变化导致的不同位点所受重力的变化，将会引起巨大而可观的潮汐力作用。

具有空间广度的物体：

如果被讨论的物体具有空间广度(远大于理论上的质点)，它们之间的万有引力可以以物体的各个等效质点所受万有引力之和来计算。在极限上，当组成质点趋近于“无限小”时，将需要求出两物体间的力(矢量式见下文)在空间范围上的积分。

从这里可以得出：如果物体的质量分布呈现均匀球状时，其对外界物体施加的万有引力吸引作用将同所有的质量集中在该物体的几何中心原理时的情况相同。(这不适用于非球状对称物体)。

矢量式：

地球附近空间内的重力示意图：在此数量级上地球表面的弯曲可被忽略不计，因此力线可以近似地相互平行并且指向地球的中心牛顿万有引力定律亦可通过矢量方程的形式进行表述而用以计算万有引力的方向和大小。在下列公式中，以粗体显示的量代表矢量。

其中：

F12: 物体1对物体2的引力

G: 万有引力常数

m1与m2: 分别为物体1和物体2的质量

r21 = | r2 − r1 |: 物体2和物体1之间的距离

r21= r1+r2 物体2和物体1之间的距离

: 物体1到物体2的单位矢量

可以看出矢量式方程的形式与之前给出的标量式方程相类似，区别仅在于在矢量式中的F是一个矢量，以及在矢量式方程的右端被乘上了相应的单位向量。而且，我们可以看出：F12 = − F21.

同样，重力加速度的矢量式方程与其标量式方程相类似：

万有引力与重力

1;重力是由于地球的吸引而产生的，但能否说万有引力就是重力呢?分析这个问题应从地球自转入手。由于地球自转，地球上的物体随之做圆周运动，所受的向心力F1=mrw^2=mRw^2cosa,F1是引力F提供的，它是F的一个分力，cosa是引力F与赤道面的夹角的余弦值，F的另一个分力F2就是物体所受的重力，即F2=mg。

由此可见，地球对物体的万有引力是物体受到重力的原因，但重力不完全等于万有引力，这是因为物体随地球自转，需要有一部分万有引力来提供向心力。

2;重力与万有引力间的大小关系

(1)重力与纬度的关系

在赤道上满足mg=F-F向(物体受万有引力和地面对物体的支持力Fn的作用，其合力充当向心力，Fn的大小等于物体的重力的大小)。

在地球两极处，由于F向=0，即mg=F，在其他位置，mg、F与F向 间符合平行四边形定则。同一物体在赤道处重力最小，并随纬度的增加而增大。

(2)重力、重力加速度与高度的关系

在距地面高度为h的高处，若不考虑地球自转的影响时，则mg'=F=GMm/(R+h)^2;而在地面处mg=GMm/R^2.

距地面高为h处，其重力加速度g'=GM/(R+h)^2,在地面处g=GM/R^2.

在距地面高度为h的轨道上运行的宇宙飞船中，质量为m的物体的重力即为该处受到的万有引力，即mg'=GmM/(R+h)^2，但无法用测力计测出其重力。

万有引力与匀速圆周运动

一个天体环绕另一个中心天体做匀速圆周运动。其向心力由万有引力提供。即F引=GMm/r^2≈mg=ma向，而a向=v^2/r=w^2r=vw=(4π^2/T^2)r=4π^2f^2r，因此应用万有引力定律解决天体的有关问题，主要有以下几个度量关系：F引=GMm/r^2(r为轨道半径)=mg=ma向=mv^2/r=mw^2r=m(4π^2/T^2)r=m4π^2f^2r.

重力场：

球状星团 M13 证明重力场的存在。重力场是用于描述在任意空间内某一点的物体每单位质量所受万有引力的矢量场。而在实际上等于该点物体所受的重力加速度。

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