趣味高中数学学习：N维空间的欧拉公式

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趣味高中数学学习：N维空间的欧拉公式

欧拉公式V+F-E=2是一个非常美妙的公式，他给出了一个多面体的点线面之间的数量关系。

我们可以推而广之，在一张非闭合平面图里，V+F-E=1。因为在一张非闭合平面图里加一个面就成了空间多面体。

作为一种消遣，我们可以做下面的思考：

欧拉公式实际上说明了一个闭合三维空间的点线面体之间的数量关系：V-E+F-T=1，此处，T代表三维空间里体的个数，欧拉公式里T=1。我们完全可以用推理欧拉公式的方法来推理这样一个结论：在连续三维空间中，都存在V-E+F-T=1这样的一个关系式存在。

在零维(非闭合)空间里，只有一个点，这时：V=1

在一维非闭合空间里，只有点和线，这时：V-E=1

在二维非闭合空间里，有…………………V-E+F=1

在三维非闭合空间里，有…………………V-E+F-T=1

我们似乎可以推测，在n维非闭合空间里，若N(N=n，n-1…1,0)维空间的单位数量为T(n)，那么存在：

T(0)-T(1)+T(2)-T(3)+…+(-1)^nT(n)=1，即

∑(-1)^nT(i)=1，i=0→n

我们就姑且称之为n维空间的欧拉公式吧!

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