2013年福建卷高考数学（理）真题及答案

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2013年福建卷高考数学（理）真题及答案

绝密★启用前

2013年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)

数学试题(理工农医类)

第Ⅰ卷(选择题 共50分)

一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求的.

1.已知复数 的共轭复数 ( 为虚数单位)，则 在复平面内对应的点位于( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2.已知集合 ， ，则 是 的()

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

3.双曲线 的顶点到渐进线的距离等于( )

A. B. C. D.

4.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩

分成6组：[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100]加以统计，

得到如图所示的频率分布直方图。已知高一年级共有学生600名，

据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为( )

A.588 B.480 C.450 D.120

5.满足 ，且关于 的方程 有实数解的有序数对的个数为( )

A. 14 B. 13 C. 12 D. 10

6.阅读如图所示的程序框图，若编入的 ，则该算法的功能是( )

A. 计算数列 的前10项和 B.计算数列 的前9项和

C. 计算数列 的前10项和 D. 计算数列 的前9项和

7. 在四边形 中， ， ,则该四边形的面积为( )

A. B. C.5 D.10

8. 设函数 的定义域为R， 是 的极大值点，以下结论

一定正确的是()

A. B. 是 的极小值点

C. 是 的极小值点 D. 是 的极小值点

9. 已知等比数列 的公比为 ，记 ， ， ，则以下结论一定正确的是(　　)

A. 数列 为等差数列，公差为 　B. 数列 为等比数列，公比为

C. 数列 为等比数列，公比为 　D. 数列 为等比数列，公比为

10.　设 是 的两个非空子集，如果存在一个从 到 的函数 满足： ; 对任意 ，当 时，恒有 ，那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是(　　)

A. 　　　　　　 B.

C. 　　 D.

第Ⅱ卷(非选择题 共100分)

二、 填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填写在答题卡的相应位置.

11. 利用计算机产生 ～ 之间的均匀随机数 ，则事件‘3a-1>0 ’发生的概率为_________

12. 已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、

俯视图、均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球

的表面积是

13. 如图，在 中，已知点 在 边上， , , , 则 的长为

14. 椭圆 的左右焦点分别为 ,焦距为 ，若直线 与椭圆 的一个交点满足 ,则该椭圆的离心率等于_____

15. 当 时，有如下表达式：

两边同时积分得： 从而得到如下等式：

请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16.(本小题满分13分)

某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为 ，中奖可以获得2分;方案乙的中奖率为 ，中奖可以获得3分;未中奖则不得分。每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品。

(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为 ,求 的概率;

(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大?

17.(本小题满分13分)

已知函数 (1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程;

(2) 求函数 的极值

18.(本小题满分13分)

如图，在正方形 中， 为坐标原点，点 的坐标为 ，

点 的坐标为 ，分别将线段 和 十等分，分点分别记为

和 ，连接 ，过 作 轴的垂线与 交于点 。

(1)求证：点 都在同一条抛物线上，并求抛物线 的方程;

(2) 过点 作直线 与抛物线E交于不同的两点 , 若 与 的面积之比为4:1，求直线 的方程。

19.(本小题满分13分)

如图，在四棱柱 中，侧棱 底面 ,

(1)求证： 平面 (2)若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 的值

(3)现将与四棱柱 形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案?在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为 ，写出 的解析式。(直接写出答案，不必说明理由)

20.(本小题满分14分)

已知函数 的周期为 ，图象的一个对称中心为 ，将函数 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向右平移个 单位长度后得到函数 的图象。

(1)求函数 与 的解析式

(2)是否存在 ，使得 按照某种顺序成等差数列?若存在，请确定 的个数，若不存在，说明理由;

(3)求实数 与正整数 ，使得 在 内恰有2013个零点

21. 本小题设有(1)、(2)、(3)三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做，则按所做的前两题计分.

(1). (本小题满分7分) 选修4-2：矩阵与变换

已知直线 在矩阵 对应的变换作用下变为直线 (I)求实数 的值

(II)若点 在直线 上，且 ，求点 的坐标

(2).(本小题满分7分) 选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点A的极坐标为 ，直线 的极坐标方程为 ，且点A在直线 上。

(Ⅰ)求 的值及直线 的直角坐标方程;

(Ⅱ)圆C的参数方程为 ，试判断直线l与圆C的位置关系.

(3).(本小题满分7分) 选修4-5：不等式选讲

设不等式 的解集为A,且 (Ⅰ)求 的值

(Ⅱ)求函数 的最小值

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