高三数学三角函数、解三角形训练题

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正文：

高三数学章末综合测试题(5)三角函数、解三角形

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.

1.已知角α的终边过点P(-8m，-6sin30°)，且cosα=-45，则m的值为(　　)

A.-12　　　　B.12　　　　C.-32　　　　D.32

解析：∵|OP|=64m2+9，且cosα=-8m64m2+9=-45，

∴m>0，且64m264m2+9=-1625=-45，∴m=12.

答案：B

2.已知扇形的周长为6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是(　　)

A.1 B.4 C.1或4 D.2或4

解析：设扇形的圆心角为α rad，半径为R，

则2R+α•R=6，12α•R2=2，解得α=1，或α=4.

答案：C

3.已知函数f(x)=sinωx+π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数图像(　　)

A.关于直线x=π4对称 B.关于点(π3，0)对称

C.关于点(π4，0)对称 D.关于直线x=π3对称

解析：∵T=π，∴ω=2.

∵当x=π4 时，f(x)=12;当x=π3时，f(x)=0，∴图像关于(π3，0)中心对称.

答案：B

4.要得到函数y=cos2x的图像，只需将函数y=cos2x-π3的图像(　　)

A.向右平移π6个单位 B.向右平移π3个单位

C.向左平移π3个单位 D.向左平移π6个单位

解析：由cos2x=cos2x-π3+π3=cos2x+π6-π3

知，只需将函数y=cos2x-π3的图像向左平移π6个单位.

答案：D

5.若2a=3sin2+cos2，则实数a的取值范围是(　　)

A.0，12 B.12，1

C.-1，-12 D.-12，0

解析：∵3sin2+cos2=2sin2+π6，又34π<2+π6<56 π，∴1<2sin2+π6<2，

即1<2a<2，∴0

答案：A

6.函数y=3sin-2x-π6(x∈[0，π])的单调递增区间是(　　)

A.0，5π12 B.π6，2π3

C.π6，11π12 D.2π3，11π12

解析：∵y=-3sin2x+π6，∴由2kπ+π2≤2x+π6≤2kπ+3π2，k∈Z，得

kπ+π6≤x≤kπ+2π3，k∈Z. 又x∈[0，π]，∴k=0.此时x∈π6，2π3.

答案：B

7.已知tanα=12，tan(α-β)=-25，那么tan(2α-β)的值是(　　)

A.-112 B.112 C.322 D.318

解析：tan(2α-β)=tan[α+(α-β)]=tanα+tan(α-β)1-tanαtan(α-β)=12-251-12×-25=112.

答案：B

8.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈0，π2时，f(x)=sinx，则f5π3的值为(　　)

A.-12 B.12 C.-32 D.32

解析：f5π3=f5π3-2π=f-π3=fπ3=sinπ3=32.

答案：D

9.已知cosπ4+θcosπ4-θ=14，则sin4θ+cos4θ的值等于(　　)

A.34 B.56 C.58 D.32

解析：由已知，得sinπ4-θcosπ4-θ=14，即12sinπ2-2θ=14，∴cos2θ=12.

∴sin22θ=1-122=34。则sin4θ+cos4θ=1-2sin2θcos2θ=1-12sin22θ=1-38=58.

答案：C

10.已知α、β为锐角，且sinα=55，sinβ=1010，则α+β=(　　)

A.-3π4 B.π4或3π4 C.3π4 D.π4

解析：∵α、β为锐角，且sinα=55，sinβ=1010，

∴cosα=255，cosβ=31010，且α+β∈(0，π)，∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

=65050-5050=55050=22， ∴α+β=π4.

答案：D

11.在△ABC中，cos2B2=a+c2c(a、b、c分别为角A、B、C的对边)，则△ABC的形状为(　　)

A.等边三角形 B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形

解析：∵cos2B2=a+c2c，∴2cos2B2-1=a+cc-1，

∴cosB=ac，∴a2+c2-b22ac=ac，∴c2=a2+b2， 故△ABC为直角三角形.

答案：B

12.在沿海某次台风自然灾害中，台风中心最大风力达到10级以上，大风降雨给沿海地区带为严重的灾害，不少大树被大风折断，某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是(　　)

A.2063米 B.106米 C.1063米 D.202米

解析：设折断点与树干底部的距离为x米.

则xsin45°=20sin(180°-75°-45°)=20sin60°，

∴x=20×sin45°sin60°=2023=2063(米).

答案：A

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.

13.若π4是函数f(x)=sin2x+acos2x(a∈R，且为常数)的零点，则f(x)的最小正周期是__________.

解析：由题意，得fπ4=sinπ2+acos2π4=0，∴1+12a=0，∴a=-2.

∴f(x)=sin2x-2cos2x=sin2x-cos2x-1=2sin2x-π4-1，

∴f(x)的最小正周期为π.

答案：π

14.在△ABC中，tanA+tanB+3=3tanAtanB.sinAcosB=34， 则△ABC的形状为__________.

解析：∵tanA+tanB=3(tanAtanB-1)，

∴tan(A+B)=tanA+tanB1-tanAtanB=-3， ∴tanC=3，又C∈(0，π)，∴C=π3.

∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=32，

∴cosAsinB=34，∴sinAcosB=cosAsinB，∴sin(A-B)=0，∴A=B.

∴△ABC为正三角形.

答案：正三角形

15.若将函数y=tanωx+π4(ω>0)的图像向右平移π6个单位后，与函数y=tanωx+π6的图像重合，则ω的最小值为__________.

解析： 由已知，得tanωx-π6+π4=tanωx-ω6π+π4=tanωx+π6，得π4-ω6π=kπ+

π6(k∈Z)，∴ω=-6k+12(k∈Z).∵ω>0，∴当k=0时，ω的 最小值为12.

答案：12

16.给出下列命题：

①半径为2，圆心角的弧度数为12的扇形面积为12;

②若α、β为锐角，tan(α+β)=12，tanβ=13，则α+2β=π4;

③若A 、B是△ABC的两个内角，且sinA ④若a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边，且a2+b2-c2<0，则△ABC是钝角三角形.

其中真命题的序号是__________.

解析：①中，S扇形=12α•R2=12×12×22=1，

∴①不正确.

②中，由已知可得tan(α+2β)=tan[(α+β)+β]=tan(α+β)+tanβ1-tan(α+β)tanβ=13+121-13×12=1，

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