高二数学和差化积公式及证明

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正文：

高二数学和差化积公式是指高中数学三角函数部分的一组恒等式.

和差化积公式

sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]

sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]

cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]

cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)

tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)

正切的和差化积公式证明

tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ)(附证明)

cotα±cotβ=sin(β±α)/(sinα·sinβ)

tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ)

tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·sinβ)

证明：左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ

=(sinα·cosβ±cosα·sinβ)/(cosα·cosβ)

=sin(α±β)/(cosα·cosβ)=右边

∴等式成立

在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。若是异名，必须用诱导公式化为同名;若是高次函数，必须用降幂公式降为一次

和差化积公式口诀

正加正，正在前，余加余，余并肩

正减正，余在前，余减余，负正弦

反之亦然

生动的口诀：(和差化积)

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