高二数学：欧拉公式

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正文：

欧拉-----著名的数学家，瑞士人，大部分时间在俄国和法国度过.他16岁获得硕士学位，早年在数学天才贝努里赏识下开始学习数学，毕业后研究数学，是数学史上最高产的作家.在世发表论文700多篇，去世后还留下100多篇待发表.其论著几乎涉及所有数学分支.他首先使用f(x)表示函数，首先用∑表示连加，首先用i表示虚数单位.在立体几何中多面体研究中，首先发现并证明欧拉公式.

教学目标：

1、了解简单多面体的概念，掌握多面体的欧拉公式。

2、会用欧拉公式解题，了解欧拉公式的证明方法。

3、通过学生的主动参与，培养他们观察发现规律并证明所得猜想的能力

教学重点：简单多面体的欧拉公式

教学难点：简单多面体概念，欧拉公式的应用

教学过程

复习引入

⑴什么是多面体?多面体的面?多面体的棱?多面体的顶点?

问题1：课本P52有5个多面体，试分别写出它们的顶点数V，面数F和棱数E

⑶观察上述数据，写出你发现的规律

二.新课讲解

欧拉公式

问题2：从上看出有V+E-F=2,再看课本P57表格上方的几个多面体，分别写出它们的顶点数V，面数F和棱数E ，并回答它们是否满足上面的规律。

问题3：若上面的多面体的表面都是用橡皮簿膜制作的，并且可以向它们的内部充气 那么那些多面体能够连续变形，最后其表面可变为一个球面?那些变为环面?那些变为对接的球面?

简单多面体：在连续的变形中，表面可变为一个球面的多面体，叫做简单多面体

思考：前面的多面体中那些是简单多面体?棱锥，棱柱，正多面体， 凸多面体是不是简单多面体?

将问题1、2、3联系起来，能得出什么猜想?用式子表示你的猜想?

V+F﹣E=2 此公式叫做欧拉公式

二、欧拉公式的证明

⑴将多面体转化为由多边形组成的平面图形

⑵变形中的不变量

⑶计算多边形的内角和

①设多面体的F个面分别是n1,n2…,nF边形，各个面的内角总和是多少?

②n1+n2 +…+nF 和多面体的棱数E有什么关系?

③设图中的最大的多边形为m边形，则它的内角和是多少?它的内部包含的其他多边形的顶点数是多少?所有其他多边形内角总和是多少?

④图中所有多边形的内角总和是多少?它是否等于(V- 2)×360°?

从上有(E- F)×360°=(V- 2)×360°

所以 V+F -E=2

三、欧拉公式的应用

例1.(1)一个凸多面体的各个面都为五边形，则E与F的关系为

V与F的关系为

(2)一个凸多面体的各个顶点都有三条棱相交，则E与V的关系为

(3)一个凸多面体的各个面都为五边形，各个顶点都有三条棱相交，求E、F、V

例2.(1) C60 是由60个原子组成的分子，它结构为简单多面体形状。这个多面体有60 个顶点，从每个顶点都引出3条棱，各面的形状为五边形或六边形两种，试计算C60分子中形状为五边形和六边形的面各有多少种?

(2) 有没有棱数为7的简单多面体?

四、练习：求证：如果间单多面体的所有面都是有奇数条边的多边形，那么面数为偶数。

欧拉

著名的数学家，瑞士人，大部分时间在俄国和法国度过.他16岁获得硕士学位，早年在数学天才贝努里赏识下开始学习数学，毕业后研究数学，是数学史上最高产的作家.在世发表论文700多篇，去世后还留下100多篇待发表.其论著几乎涉及所有数学分支.他首先使用f(x)表示函数，首先用∑表示连加，首先用i表示虚数单位.在立体几何中多面体研究中，首先发现并证明欧拉公式.

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